Introduction à la théorie de Galois
date_range Débute le 1 juillet 2016
event_note Se termine le 3 octobre 2016
list 11 séquences
assignment Niveau : Introductif
chat_bubble_outline Langue : Français
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Les infos clés

credit_card Formation gratuite
verified_user Certification gratuite
timer 55 heures de cours

En résumé

Le MOOC « Introduction à la théorie de Galois » expose la théorie, du classique critère de non-résolubilité des équations polynomiales aux méthodes plus avancées de calcul de groupes de Galois par réduction modulo un nombre premier.

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Le programme

Semaine 1 : Introduction : description du problème et quelques résultats sur les polynômes d’une variable comme échauffement.

Semaine 2 : Extensions de corps : algébricité, corps algébriquement clos, lemme de l’élément primitif.

Semaine 3 : Polynôme minimal, éléments conjugués.

Semaine 4 : Corps fini : Frobenius, automorphismes, extensions de corps finis.

Semaine 5 : Théorie des groupes I : résultats de base, ordre d’un élément, théorème de Lagrange.

Semaine 6 : Correspondance de Galois : lemme d’Artin, groupes de Galois, correspondance de Galois.

Semaine 7 : Théorie des groupes II : groupes résolubles, non résolubilité du groupe symétrique Sn pour n plus grand ou égal à 5.

Semaine 8 : Cyclotomie I : extension cyclotomique générale, théorie de Kummer

Semaine 9 : Théorèmes de résolubilité de Galois : critère de résolubilité, théorème de Galois en degré p

Semaine 10 : Réduction mod p : calcul de groupes de Galois de polynômes à coefficients entiers par réduction modulo p

Semaine 11 : Compléments : Cyclotomie sur Q (grâce à la réduction modulo p) et autres applications

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Les intervenants

Olivier Debarre, professeur de mathématiques – Département de mathématiques

Yves Laszlo, Professeur de mathématiques – Directeur adjoint Sciences

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Le concepteur

L’École normale supérieure (ENS) est un établissement d'enseignement supérieur pour les études prédoctorales et doctorales (graduate school) et un haut lieu de la recherche française. L'ENS offre à 300 nouveaux étudiants et 200 doctorants chaque année une formation de haut niveau, largement pluridisciplinaire, des humanités et sciences sociales aux sciences dures. Régulièrement distinguée au niveau international, l'ENS a formé 10 médailles Fields et 13 prix Nobel.

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